Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{array}]$

Etapa 1

Estabeleça a fórmula para encontrar a equação característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Etapa 2

A matriz identidade ou matriz unitária de tamanho $2$ é a matriz quadrada $2 \times 2$ com números "um" na diagonal principal e zeros nos outros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 3

Substitua os valores conhecidos em $p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $[\begin{array}{c} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{array}] - λ I_{2})$

Etapa 3.2

Substitua $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{2}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Multiplique $- λ$ por cada elemento da matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.2.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.3.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Etapa 4.2

Adicione os elementos correspondentes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 0.4 - λ & 1 - c + 0 \\ 0.6 + 0 & c - λ \end{array}]$

Etapa 4.3

Simplify each element.

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Etapa 4.3.1

Some $1 - c$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 0.4 - λ & 1 - c \\ 0.6 + 0 & c - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.2

Some $0.6$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 0.4 - λ & 1 - c \\ 0.6 & c - λ \end{array}]$

Etapa 5

Find the determinant.

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Etapa 5.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (0.4 - λ) (c - λ) - 0.6 (1 - c)$

Etapa 5.2

Simplifique o determinante.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Expanda $(0.4 - λ) (c - λ)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 0.4 (c - λ) - λ (c - λ) - 0.6 (1 - c)$

Etapa 5.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 0.4 c + 0.4 (- λ) - λ (c - λ) - 0.6 (1 - c)$

Etapa 5.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 0.4 c + 0.4 (- λ) - λ c - λ (- λ) - 0.6 (1 - c)$

Etapa 5.2.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $0.4$ .

$p (λ) = 0.4 c - 0.4 λ - λ c - λ (- λ) - 0.6 (1 - c)$

Etapa 5.2.1.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = 0.4 c - 0.4 λ - λ c - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 0.6 (1 - c)$

Etapa 5.2.1.2.3

Multiplique $λ$ por $λ$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.2.3.1

Mova $λ$ .

$p (λ) = 0.4 c - 0.4 λ - λ c - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 0.6 (1 - c)$

Etapa 5.2.1.2.3.2

Multiplique $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = 0.4 c - 0.4 λ - λ c - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 0.6 (1 - c)$

Etapa 5.2.1.2.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = 0.4 c - 0.4 λ - λ c + 1 λ^{2} - 0.6 (1 - c)$

Etapa 5.2.1.2.5

Multiplique $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = 0.4 c - 0.4 λ - λ c + λ^{2} - 0.6 (1 - c)$

Etapa 5.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 0.4 c - 0.4 λ - λ c + λ^{2} - 0.6 \cdot 1 - 0.6 (- c)$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $- 0.6$ por $1$ .

$p (λ) = 0.4 c - 0.4 λ - λ c + λ^{2} - 0.6 - 0.6 (- c)$

Etapa 5.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 0.6$ .

$p (λ) = 0.4 c - 0.4 λ - λ c + λ^{2} - 0.6 + 0.6 c$

Etapa 5.2.2

Some $0.4 c$ e $0.6 c$ .

$p (λ) = c - 0.4 λ - λ c + λ^{2} - 0.6$

Etapa 5.2.3

Mova $λ$ .

$p (λ) = c - 0.4 λ - 1 c λ + λ^{2} - 0.6$

Etapa 5.2.4

Mova $- 0.4 λ$ .

$p (λ) = c - 1 c λ + λ^{2} - 0.4 λ - 0.6$

Etapa 5.2.5

Mova $c$ .

$p (λ) = - 1 c λ + λ^{2} + c - 0.4 λ - 0.6$

Etapa 6

Defina o polinômio característico como igual a $0$ para encontrar os autovalores $λ$ .

$- 1 c λ + λ^{2} + c - 0.4 λ - 0.6 = 0$

Etapa 7

Resolva $λ$ .

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Etapa 7.1

Reescreva $- 1 c$ como $- c$ .

$- c λ + λ^{2} + c - 0.4 λ - 0.6 = 0$

Etapa 7.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 7.3

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - c - 0.4$ e $c = c - 0.6$ na fórmula quadrática e resolva $λ$ .

$\frac{- (- c - 0.4) \pm \sqrt{{(- c - 0.4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (c - 0.6))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4

Simplifique.

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Etapa 7.4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{{(- c - 0.4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.1.2

Multiplique $- - c$ .

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Etapa 7.4.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$λ = \frac{1 c + 0.4 \pm \sqrt{{(- c - 0.4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.1.2.2

Multiplique $c$ por $1$ .

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{{(- c - 0.4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 0.4$ .

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{{(- c - 0.4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.1.4

Reescreva ${(- c - 0.4)}^{2}$ como $(- c - 0.4) (- c - 0.4)$ .

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{(- c - 0.4) (- c - 0.4) - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.1.5

Expanda $(- c - 0.4) (- c - 0.4)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{- c (- c - 0.4) - 0.4 (- c - 0.4) - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{- c (- c) - c \cdot - 0.4 - 0.4 (- c - 0.4) - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{- c (- c) - c \cdot - 0.4 - 0.4 (- c) - 0.4 \cdot - 0.4 - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.1.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 7.4.1.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1.6.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 c \cdot c) - c \cdot - 0.4 - 0.4 (- c) - 0.4 \cdot - 0.4 - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.1.6.1.2

Multiplique $c$ por $c$ somando os expoentes.

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Etapa 7.4.1.6.1.2.1

Mova $c$ .

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 (c \cdot c)) - c \cdot - 0.4 - 0.4 (- c) - 0.4 \cdot - 0.4 - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.1.6.1.2.2

Multiplique $c$ por $c$ .

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 c^{2}) - c \cdot - 0.4 - 0.4 (- c) - 0.4 \cdot - 0.4 - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.1.6.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{1 c^{2} - c \cdot - 0.4 - 0.4 (- c) - 0.4 \cdot - 0.4 - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.1.6.1.4

Multiplique $c^{2}$ por $1$ .

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} - c \cdot - 0.4 - 0.4 (- c) - 0.4 \cdot - 0.4 - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.1.6.1.5

Multiplique $- 0.4$ por $- 1$ .

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} + 0.4 c - 0.4 (- c) - 0.4 \cdot - 0.4 - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.1.6.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 0.4$ .

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} + 0.4 c + 0.4 c - 0.4 \cdot - 0.4 - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.1.6.1.7

Multiplique $- 0.4$ por $- 0.4$ .

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} + 0.4 c + 0.4 c + 0.16 - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.1.6.2

Some $0.4 c$ e $0.4 c$ .

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} + 0.8 c + 0.16 - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.1.7

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} + 0.8 c + 0.16 - 4 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.1.8

Aplique a propriedade distributiva.

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} + 0.8 c + 0.16 - 4 c - 4 \cdot - 0.6}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.1.9

Multiplique $- 4$ por $- 0.6$ .

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} + 0.8 c + 0.16 - 4 c + 2.4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.1.10

Subtraia $4 c$ de $0.8 c$ .

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} - 3.2 c + 0.16 + 2.4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.1.11

Some $0.16$ e $2.4$ .

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} - 3.2 c + 2.56}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.1.12

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 7.4.1.12.1

Reescreva $2.56$ como ${1.6}^{2}$ .

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} - 3.2 c + {1.6}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.1.12.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$3.2 c = 2 \cdot c \cdot 1.6$

Etapa 7.4.1.12.3

Reescreva o polinômio.

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} - 2 \cdot c \cdot 1.6 + {1.6}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.1.12.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = c$ e $b = 1.6$ .

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{{(c - 1.6)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.1.13

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$λ = \frac{c + 0.4 \pm (c - 1.6)}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$λ = \frac{c + 0.4 \pm (c - 1.6)}{2}$

Etapa 7.5

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$λ = \frac{5 c - 3}{5}$

$λ = 1$

$λ = \frac{5 c - 3}{5}$

$λ = 1$